LOGARITMO

Era otoño del 31 de mayo del año 70 y nuestra selección de fútbol había clasificado de manera categórica al mundial de México. La algarabía y la esperanza por este logro reinaban en todas las familias peruanas ya que el Perú desde hace 40 años no clasificaba a uno y de qué manera la alcanzaba: eliminando a la mismísima selección argentina en la Bombonera.

Todos estabamos preparándose para la primera semana de Junio, fecha en la cual debutaría la selección. Pero, como una estocada final a dicha efervescencia y fanatismo que desprendía una de las mejores selecciones de nuestro país y porque no del mundo, ocurrió uno de los hechos más catastróficos: El terremoto de 1970, donde los pueblos del callejón de Huaylas fueron los más afectados, especialmente Yungay y Huaraz.

El desprendimiento de un bloque de nieve y hielo del pico oriental del nevado Huascarán, junto con grandes pedazos de roca, enterraron y desaparecieron a los pueblos de Yungay y Ranrahirca. Mientras que Huaraz, capital de Ancash, se destruyó en un 97%, dejando un total de 67 000 muertos y 20 000 desaparecidos.

El ingeniero geofísico Mateo Casaverde, uno de los sobrevivientes, comentó: "El lodo de aproximadamente 60 metros de alto paso muy cerca de nuestros pies, se oscureció el cielo por la gran cantidad de polvo, posiblemente originado de las casas destruidas en Yungay. Al voltear la mirada vimos que había desaparecido".

Al igual que Mateo, varias personas sobrevivieron porque pudieron correr y refugiarse en el cementerio de la ciudad (antigua fortaleza preinca). Otros que se salvaron fueron mayormente los niños que habían asistido al estadio en donde el circo "Verolina" realizaba su presentación.

TERREMOTO EN ICA

Un sismo registrado el 15 de agosto de 2007 a las 23.40.57 UTC (18:40:57 hora local) con una duración cerca de 210 segundos (3 min 30 s). Su epicentro se localizó en las costas del centro del Perú a 40 kilómetros al oeste de Chincha Alta y a 150 km al suroeste de Lima, y su hipocentro se ubicó a 39 kilómetros de profundidad. Fue uno de los terremotos más violentos ocurridos en el Perú en los últimos años; el más poderoso (en cuanto a intensidad y a duración), pero no el más catastrófico, desde ese punto de vista el terremoto de 1970 produjo miles de muertos.
El siniestro, que tuvo una magnitud de 7,9 en la escala sismológica de Richter y dejó 1000 muertos, casi 2000 heridos, 76 000 viviendas totalmente destruidas e inhabitables y cientos de miles de damnificados. Las zonas más afectadas fueron las provincias de Pisco, Ica, Chincha, Cañete y Yauyos.

Los terremotos son fenómenos naturales que en pocos segundos pueden provocar un enorme daño a la población. De hecho, han sido responsables de grandes catástrofes en la historia de la humanidad.

Estos fenómenos naturales como muchos que existen pueden ser regidos por la función exponencial y su inversa la denominada función logarítmica.

En la Química, en la Física, en la Economía, en la Medicina, en la Demografía, etc. el uso del logaritmo es muy frecuente: La escala sismológica de Richter, también conocida por su nombre más adecuado de escala de magnitud local (ML), es una escala logarítmica arbitraria que asigna un número para cuantificar el tamaño de un terremoto.

Entonces: ¿Qué es un logaritmo?

Motivación-juego

NOTA HISTÓRICA:

Los Logaritmos

John Napier o John Neper (1550-1617), matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo; estudió en la Universidad de San Andrés, fue promotor del desarrollo de los logaritmos. A fines del siglo XVI desarrolló un método para hacer que las potencias de los números fuesen casi continuas, es decir, encontrar potencias para incrementos muy pequeños. determinando potencias sucesivas de números muy próximos a 1, fue capaz de crear tablas de exponentes utilizando multiplicaciones repetidas. Fue un proceso tedioso, pero con el creó un sistema que fue, aunque impreciso, la base para los logaritmos tal como lo conocemos hoy en día.

Un profesor de geometría, Henry Briggs, quedó fascinado con el trabajo de Nepier. Briggs y Napier comenzaron a trabajar juntos y decidieron extender los logaritmos a la base 10, comensando con log 1= 0 y log 10=1. No obstante, Napier murió tres años después, y Briggs tuvo que desarrollar por cuenta propia la tabla de los logaritmos comunes.

DEFINICIÓN

Sean a y N números positivos, además a ≠ 0; entonces el logaritmo de N en base a denotado por log _aN, es el exponente al que hay que elevar la base a, para obtener N.

Simbólicamente: log_aN= x ↔ a^x = N

Si la base es 10, entonces log₁₀N se escribe log N, llamado logaritmo decimal de N
Si la base es e=2,718281828....., entonces log_eN se escribe ln N, llamado logaritmo natural de N.

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PROPIEDADES
Los logaritmos tienen propiedades generales y operativas interesantes que los hacen útiles.
Por ejemplo, cuando se hacen gráficas de algunas curvas complejas usando logaritmos, las curvas se tornan más manejables.

Otra aplicación de las propiedades es la solución de ecuaciones logarítmicas, o bien ejercicios del tipo: "dados logaritmos de 2 y 3 calcular el logaritmo 18", etc.

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APLICACIONES

Modelos Matemáticos
Mostrar diversos modelos matemáticos relacionados con logaritmos: escla Richter, cálculo de pH, ganancia en decibeles, etc.

Estas aplicaciones pueden servir para practicar despejando incógnitas en el exponente o aplicar la definición de logaritmo.

Magnitud de Sismos

Charles Richter fue un sismólogo americano cuyo estudio permitió relacionar la magnitud de un terremoto o sismo con el tiempo transcurrido entre la aparición de ondas P y ondas S y la amplitud de estas.

Esta es la escala de referencia desde 1935 que permite evaluar la fuerza de un sismo por el valor de la magnitud calculada a partir de la cantidad de energía que este produce.

La escala Richter, es una escala logarítmica que corresponde al logaritmo de la medida de las ondas de tipo P y S a 100 kilómetros del epicentro.

La fórmula para calcular la escala de Richter utiliza un logaritmo decimal: ML = logA – logAo, donde A representa la amplitud máxima revelada por el sismógrafo y Ao una amplitud de referencia. Esto significa que las ondas sísmicas de un sismo de magnitud 6 tienen una amplitud diez veces más grandes que aquellas de un sismo de magnitud 5.

Richter se inspiró en la escala de magnitud estelar, técnica usada en la astronomía para describir el brillo de las estrellas y de otros objetos celestiales.

En la escala de Richter un sismo de:
Menos de 3.5 Generalmente no se siente, pero es registrado
3.5 - 5.4 A menudo se siente, pero sólo causa daños menores
5.5 - 6.0 Ocasiona daños ligeros a edificios
6.1 - 6.9 Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas.
7.0 - 7.9 Terremoto mayor. Causa graves daños
8 o mayor Gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas.

¿Cómo se calcula la magnitud de un sismo?

En nuestro país, hay una franja de zona sísmica donde convergen la Placa de Nazca y la Placa Continental.

Para medir la magnitud de un sismo se realizan lecturas en un sismógrafo, las que estan representadas en una escala. en 1935, Charles Richter definió la magnitud de un terremoto como:

ML = logA – logAo que es igual a ML=log(A/Ao) ...Prop. operativa

Ejemplo: El 31 de mayo de 1970, un terremoto asoló el Callejón de Huaylas durante 45 segundos, que causó la destrucción de las principales ciudades y ocasionó aproximadamente 67 000 víctimas.

Si a 100 Km del epicentro hubiera estado ubicado un sismógrafo, este habría registrado una lectura de 31 622,77 mm.

Determina la magnitud de dicho sismo:

Solución:

Todos los sismos se comparan con un sismo de nivel cero cuya lectura sismográfica mide un milésimo de milímetro a una distancia de 100 Km del epicentro.

A = 31 622,77

ML = log (31 622,77/0,001)

ML= log 31 622 770

ML = 7,5

Grado de acidez

¿Cómo se calcula la acidez de una sustancia química?

Ph de una sustancia química

pH es una medida de la acidez o la alcalinidad. La escala de el pH va desde 0 a 14. El punto medio de la escala del pH es 7, aquí hay un equilibrio entre la acidez y alcalinidad. Dicha solución seria neutral.

La p viene de la palabra poder. La H por supuesto es el símbolo de el elemento hidrógeno. Juntos el término pH significa hidrión exponente iónico. A medida que el potencial de liberar iones de hidrogeno incrementan en una sustancia el valor del pH sera menor. Es así como a mayor grado de acidez la lectura del pH será más baja.

pH se define como : pH=-log[H⁺], donde [H⁺] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro.

La escala del pH es logarítmica, significando que los valores separando cada unidad no son iguales en la escala por el contrario incrementan de manera proporcional a la distancia a la que se encuentren de la mitad de la escala el punto de equilibrio entre acidez y alcalinidad.

Ejemplo: La concentración de iones de hidrógeno en la leche es de 4x10^-7 moles por litro, de modo que:

pH = -log[4x10^-7]
pH = - log 0,0000004
pH = -(-6,3974.......)
pH = 6,4

Volumen de Sonidos

¿Cómo se calcula el volumen de los sonidos?

El sonido es un tipo de energía. Todos los sonidos se producen cuando algo vibra, lo que hace que las moléculas del aire vibren también. La moléculas en sí no son el sonido, pero sin ellas sólo habría silencio.

El volumen de los ruidos y sonido se mide en decibeles (dB). Un

sonido de muchos decibeles puede dañar el oído de las personas y causarles sordera. En la tabla podrás ver el volumen de algunos de los sonidos más frecuentes.

¿A partir de qué niveles el sonido es perjudical?

Por encima de los 100 dB es recomendable, siempre que sea posible, utilizar protectores para los oídos. Si la exposición es prolongada, por ejemplo en puestos de trabajo, se considera necesario utillizar protectores en ambientes con niveles de 85 dB.

Los daños producidos en el oído por exposiciones a ruidos muy fuertes son acumulativos e irreversibles, por lo que se deben de extremar las precauciones. Como consecuencia de la exposición prolongada a ruidos se producen trastornos nerviosos, cardiacos y mentales.

Nivel de Intensidad (o volumen sonoro)

La unidad de medición de los niveles de intensidad es el bel (cuya abreviatura es B, en honor de Alexander Graham Bell), y el nivel de intensidad (NI) se define por

IL= log (I/Io) (B)

(nivel de intensidad en bels)

Donde:

I = intensidad de sonido

Io= 10^-12W/m², (llamado umbral auditivo)

No obstante, el bel que es el logaritmo en base 10, resulta una unidad demasiado grande, por lo cual suele emplearse el decibel (dB): 1 bel = 10 decibeles. Así pues el nivel de intensidad está dado por:

IL = 10 log(I/Io) (dB)

(nivel de intensidad en decibeles).

La escala de decibeles se muestra en el recuadro dado anteriormente.

Ejemplo: ¿Cuáles son los niveles de intensidad en dB para la intensidad de I = 10^-12 W/m²

Solución

I = Io = I^-12 W/m² es la intensidad de referencia, y

IL = 10 log (I/Io)

IL = 10 log(10^-12/10^-12

IL = 10 log 1 = 0 dB

puesto que log 1 = log 10 ⁰ = 0 (Recuérdese que log 10 ^x = x)

por consiguiente, la intensidad dereferencia es el "cero" de la escala dB.

SITIOS SUGERIDOS

http://www.logaritmos.tk/